\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{通义千问、五六七}
\title{数量金融实验 - 专题12 \\ 风险价值（VaR）简介及计算方法}
%\date{2025年10月14日}

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\begin{document}

\maketitle

\abstract{本文介绍风险价值的概念和计算方法。}

\tableofcontents

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\setlength{\parskip}{1em}  % 增加段落之间的间距为1em

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\section{什么是VaR（风险价值）？}

\textbf{风险价值}（Value at Risk, VaR）是金融风险管理中广泛使用的度量指标，用于衡量在给定的置信水平和持有期内，投资组合可能遭受的最大潜在损失。

\subsection{定义}
设 $X$ 为投资组合在未来持有期内的损失（或负收益），则在置信水平 $\alpha$ 下的 VaR 定义为：
\[
P(X \leq \mathrm{VaR}_\alpha) = \alpha
\]
即：损失不超过 $\mathrm{VaR}_\alpha$ 的概率为 $\alpha$。例如，$\mathrm{VaR}_{95\%} = 100$ 万元表示：在未来持有期内，有 95\% 的把握损失不会超过 100 万元。

\subsection{特点}
- 简洁直观，易于理解和沟通。
- 被巴塞尔协议等监管框架广泛采用。
- 不满足次可加性，不是一致风险度量（Coherent Risk Measure）。

\section{VaR 的计算方法}

下面以一个简单例子说明两种常见方法：历史法和正态法。

\subsection{例子设定}

假设某投资组合过去 10 天的日收益率如下（单位：\%）：
\[
r_t = \{-2.1, -1.5, 0.8, -0.3, 1.2, -3.0, 0.5, -1.8, 2.0, -2.5\}
\]
当前投资组合价值 $V = 1000$ 万元。计算 95\% 置信水平下的 1 日 VaR。

\subsection{方法一：历史模拟法（Historical Simulation）}

\textbf{思想}：直接使用历史收益率数据的经验分布来估计未来损失分布。

\textbf{步骤}：
\begin{enumerate}
    \item 计算历史损失（负收益）：$L_t = -r_t \times V$
    \item 将损失从小到大排序。
    \item 取第 $\lceil \alpha \times N \rceil$ 个值作为 VaR 估计。
\end{enumerate}

\textbf{计算}：
\begin{itemize}
    \item 历史损失（万元）：
    \[
    L = \{21, 15, -8, 3, -12, 30, -5, 18, -20, 25\}
    \]
    取绝对值或直接使用负收益对应的正损失：
    实际应为：$L_t = |r_t| \times V$ 仅当 $r_t < 0$？更准确：损失 = $-r_t \times V$，所以：
    \[
    L = \{21, 15, -8, 3, -12, 30, -5, 18, -20, 25\} \Rightarrow \text{正损失为} \{21, 15, 3, 30, 18, 25\}
    \]
    更正：损失定义为 $L = -r_t \times V$，则：
    \[
    L = \{21, 15, -8, 3, -12, 30, -5, 18, -20, 25\}
    \]
    取正损失部分排序：$\{3, 15, 18, 21, 25, 30\}$，但应包含所有 $-r_t$。
    正确做法：计算 $L_t = -r_t \times 1000$（单位：万元）：
    \[
    L = \{21, 15, -8, 3, -12, 30, -5, 18, -20, 25\}
    \]
    排序：$\{-20, -12, -8, -5, 3, 15, 18, 21, 25, 30\}$
    \item 在 95\% 置信水平下，取第 $0.95 \times 10 = 9.5 \Rightarrow \lceil 9.5 \rceil = 10$ 个值。
    \item 第 10 个值（最大值）为 30。
\end{itemize}

\textbf{结果}：$\mathrm{VaR}_{95\%} = 30$ 万元。

\textbf{优点}：无需分布假设，简单直观。  
\textbf{缺点}：需要大量历史数据，对极端事件估计不足。

\subsection{方法二：正态分布法（Parametric / Variance-Covariance Method）}

\textbf{思想}：假设收益率服从正态分布，通过估计均值和方差来计算 VaR。

\textbf{公式}：
\[
\mathrm{VaR}_\alpha = z_\alpha \cdot \sigma \cdot V
\]
其中 $z_\alpha$ 是标准正态分布的 $\alpha$ 分位数，$\sigma$ 是收益率的标准差（假设均值为 0 或已中心化）。

\textbf{计算}：
\begin{itemize}
    \item 计算收益率标准差：
    \[
    \bar{r} = \frac{1}{10} \sum r_t = \frac{-6.7}{10} = -0.67\%
    \]
    \[
    \sigma = \sqrt{\frac{1}{9} \sum (r_t - \bar{r})^2} \approx 1.87\% \quad \text{(计算略)}
    \]
    \item $z_{0.95} = 1.645$（标准正态 95\% 分位数）
    \item 
    \[
    \mathrm{VaR}_{95\%} = 1.645 \times 0.0187 \times 1000 \approx 30.76 \text{ 万元}
    \]
\end{itemize}

\textbf{结果}：$\mathrm{VaR}_{95\%} \approx 30.76$ 万元。

\textbf{优点}：计算简单，适用于线性组合。  
\textbf{缺点}：假设正态分布，低估尾部风险（现实中收益率常呈现“厚尾”）。

\section{总结}

VaR 是衡量市场风险的重要工具。历史法基于经验分布，正态法基于参数假设。在实际应用中，还需考虑蒙特卡洛模拟法、极值理论等更复杂方法以更好捕捉尾部风险。

\end{document}

